共通テスト情報Ⅰ・3-4

計算誤差と表現の限界の一問一答

共通テスト「情報Ⅰ」の「デジタル化とコンピュータ」から、計算誤差と表現の限界に関する4択問題を10問。「答えと解説を見る」を開くと、正解とその理由がその場で読めます。会員登録は不要です。

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問題

上から順に解いてみてください。答えは各問の下で確認できます。

問13-4・基礎

10進数の0.1を2進数で表したものとして、最も適切なものはどれか。

①0.0001（小数点以下4桁で終わる）
②0.00011（小数点以下5桁で終わる）
③0.00011001…（0011が繰り返す）
④0.0101010101…（01が繰り返す）

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正解 ③0.00011001…（0011が繰り返す）

解説
正解は「0.00011001…（0011が繰り返す）」。0.1は2進数では、0.0の後に0011の並びがずっと繰り返し、有限の桁では終わりません。

手順
①小数部分に2を掛け、整数部分を上の桁から順に取り出す。0.1×2＝0.2→0、0.2×2＝0.4→0。
②0.4×2＝0.8→0、0.8×2＝1.6→1、0.6×2＝1.2→1。ここまでで0.00011。
③残りが0.2にもどったので、ここから0011が繰り返す。コンピュータは決まった桁数で打ち切るので、わずかな誤差が出ます。

ひっかけ注意

・「0.0101010101…（01が繰り返す）」…10進数の3分の1（0.333…）を2進数にしたもの。0.25＋0.0625＋…と足すと3分の1に近づく。
・「0.0001（小数点以下4桁で終わる）」…10進数の0.0625（2の−4乗）。0.1より0.0375小さい。
・「0.00011（小数点以下5桁で終わる）」…0.0625＋0.03125＝0.09375。0.1を途中で打ち切った値で、0.00625足りない。

問23-4・標準

次の10進数のうち、2進数の有限の桁で正確に表すことができないものはどれか。

①0.5
②0.75
③0.375
④0.2

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正解 ④0.2

解説
正解は「0.2」。0.2は2進数では 0.00110011… と繰り返しが終わりません。

なぜ
2進数の小数点以下の桁は、0.5、0.25、0.125…と、2で割った値の組み合わせしか表せません。この組み合わせでちょうど作れる数だけが、有限の桁で表せます。

ひっかけ注意

・「0.5」…2進数で0.1。小数第1位の重み0.5そのもので、1桁で表せる。
・「0.75」…0.5＋0.25なので、2進数で0.11。2桁で表せる。
・「0.375」…0.25＋0.125なので、2進数で0.011。3桁で表せる。

問33-4・基礎

値がほぼ等しい2つの数の引き算をしたとき、結果の有効数字の桁数が大きく減ってしまう現象を何というか。

①桁落ち
②情報落ち
③丸め誤差
④打切り誤差

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正解 ①桁落ち

解説
正解は「桁落ち」。上の方の桁が引き算で打ち消し合い、信頼できる桁が少ししか残らなくなります。（情報Ⅰの範囲を少し超えた発展の内容です）

なぜ
例えば有効数字4桁の 1.235−1.234 は 0.001 になり、意味のある数字が1桁しか残りません。元の値に含まれていた小さな誤差が、相対的に大きく目立つようになります。

ひっかけ注意

・「情報落ち」…大きさが大きく違う数の足し引きで、小さい方が反映されない誤差。例：有効数字3桁で10000＋1。
・「丸め誤差」…決められた桁に収めるため、四捨五入や切り捨てをして生じる誤差。例：2÷3を0.667とする。
・「打切り誤差」…無限に続く計算を途中で打ち切って生じる誤差。例：無限に続く足し算を10回で止める。

問43-4・標準

有効数字3桁の10進数で計算を行う（計算結果の4桁目を四捨五入して3桁に収める）。図は、1.23×10⁴（＝12300）に 4.56 を、位をそろえて足したものである。足した結果を有効数字3桁で表したものはどれか。

自作の図

①1.24×10⁴
②1.23×10⁴
③1.28×10⁴
④5.79×10⁴

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正解 ②1.23×10⁴

解説
正解は「1.23×10⁴」。足した4.56が結果に反映されません。これを情報落ちといいます。（情報Ⅰの範囲を少し超えた発展の内容です）

手順
①図のとおり、1.23×10⁴＝12300 に4.56を足すと 12304.56。
②有効数字3桁にするため、4桁目の0を四捨五入すると 12300。
③よって 1.23×10⁴ で、足す前と変わらない。

ひっかけ注意

・「1.24×10⁴」…4.56の分だけ3桁目が1増えると考えた値。12304.56の4桁目は0なので、四捨五入では切り上がらず12300のまま。
・「1.28×10⁴」…4.56を456と、桁（10の何乗か）を合わせずに足した値（12300＋456）。
・「5.79×10⁴」…指数をそろえずに、仮数の1.23と4.56をそのまま足した値。

問53-4・標準

有効数字4桁で表された2つの数について、図の筆算のように 1.235 − 1.234 を計算した。結果の有効数字の桁数と、この現象の名前の組合せとして正しいものはどれか。

自作の図

①4桁・桁落ち
②1桁・情報落ち
③1桁・桁落ち
④3桁・情報落ち

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正解 ③1桁・桁落ち

解説
正解は「1桁・桁落ち」。結果の0.001の中で、意味のある数字は最後の1だけです。（情報Ⅰの範囲を少し超えた発展の内容です）

手順
①図の筆算を計算すると、1.235−1.234＝0.001。
②0.001の前の0は位取りのための0なので、有効数字は1桁。
③4桁あった有効数字がほぼ等しい数の引き算で1桁に減ったので、桁落ち。

ひっかけ注意

・「4桁・桁落ち」…有効数字が4桁のまま保たれると考えた誤り。4桁が1桁に減ることが桁落ち。
・「1桁・情報落ち」…桁数は合うが現象名が違う。情報落ちは大きさが大きく違う2数の足し引きで起こる。
・「3桁・情報落ち」…小数点以下の桁数（3桁）と有効数字を取り違え、現象名も誤っている。

問63-4・標準

8ビットの符号なし整数（表せる範囲は0〜255）で 200 + 100 を計算した。図は、計算結果の300を2進数で表し、各桁の重みを書いたものである。9ビット目（色を付けた桁）にあふれた桁を捨て、下位8ビットだけを残したとき、結果の値はいくつか。

自作の図

①255
②300
③45
④44

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正解 ④44

解説
正解は「44」。結果が表せる範囲を超えるオーバーフロー（桁あふれ）が起きています。

手順
①図のとおり、200＋100＝300＝100101100（2進数）。これは255を超えるので、8ビットに収まらない。
②9ビット目は256の重みを持つ。あふれた桁を捨てると 300−256＝44。
③2進数で確かめると、300＝100101100 の下位8ビット 00101100＝44。

ひっかけ注意

・「255」…最大値で止まると考えた値。この問題の前提では、9ビット目（重み256）を捨てる。
・「300」…数学上の正しい答え。8ビットの符号なし整数は0〜255なので、300は表せない。
・「45」…256ではなく255を引いてしまった値。9ビット目の重みは2の8乗＝256。

問73-4・基礎

決められた桁数に収めるため、四捨五入・切り捨て・切り上げを行ったことで生じる誤差を何というか。

①丸め誤差
②桁落ち
③オーバーフロー
④打切り誤差

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正解 ①丸め誤差

解説
正解は「丸め誤差」。コンピュータは決まった桁数しか持てないので、はみ出た部分を処理するときに生じます。（情報Ⅰの範囲を少し超えた発展の内容です）

なぜ
例えば 2÷3＝0.6666… を小数第3位までにすると 0.667 になり、本当の値との間に差が出ます。この差が丸め誤差です。

ひっかけ注意

・「桁落ち」…ほぼ等しい数どうしの引き算で、有効数字が大きく減る現象。例：1.235−1.234＝0.001。
・「オーバーフロー」…計算結果が表せる範囲を超えること。例：8ビット符号なしで200＋100。
・「打切り誤差」…無限に続く計算を途中で打ち切って生じる誤差。例：無限に続く足し算を10回で止める場合。桁に収めるための四捨五入とは原因が違う。

問83-4・標準

次のプログラムを、数値を2進数の浮動小数点数で扱う一般的な処理系で実行したところ、「等しくない」と表示された。その主な理由として最も適切なものはどれか。
(01) x = 0
(02) i を 1 から 10 まで 1 ずつ増やしながら繰り返す:
(03) ⎿ x = x + 0.1
(04) もし x == 1 ならば:
(05) ｜表示する("等しい")
(06) そうでなければ:
(07) ⎿ 表示する("等しくない")

①足し算の回数が多く、オーバーフローが起きるから
②0.1が2進数で正確に表せず、誤差が積もるから
③ほぼ等しい数の引き算で、桁落ちが起きているから
④小数と整数は、等しいかどうかを比べられないから

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正解 ②0.1が2進数で正確に表せず、誤差が積もるから

解説
正解は「0.1が2進数で正確に表せず、誤差が積もるから」。10回足した結果が、1にごくわずかに届かない値になります。

なぜ
0.1は2進数では繰り返しが終わらないので、決められた桁で丸めた近い値として記録されます。その小さな誤差が足し算のたびに積み重なり、x はちょうど1になりません。そのため x == 1 は成り立ちません。

ひっかけ注意

・「足し算の回数が多く、オーバーフローが起きるから」…x は1程度にしかならない。範囲を超えるのは、はるかに大きな値のとき。
・「ほぼ等しい数の引き算で、桁落ちが起きているから」…このプログラムの計算は足し算だけで、引き算は1回もない。桁落ち（発展の語）は、1.235−1.234のようなほぼ等しい数の引き算で有効数字が減る現象。
・「小数と整数は、等しいかどうかを比べられないから」…比べることはできる。値が1からわずかにずれているため等しくならない。

問93-4・基礎

浮動小数点数で、数値の有効数字の並びを受け持ち、精度（何桁まで正確か）を決める部分を何というか。

①指数部
②符号部
③仮数部
④基数

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正解 ③仮数部

解説
正解は「仮数部」。仮数部のビット数が多いほど、細かい桁まで表せます。

なぜ
浮動小数点数は、1.23×10⁴ のように、数字の並び（仮数）と、何桁ずらすか（指数）に分けて表します。数字の並びを持つのが仮数部です。

ひっかけ注意

・「指数部」…小数点の位置（数の大きさの桁）を表す部分。指数部のビット数を増やした場合、表せる数の範囲が広がる（精度は仮数部が決める）。
・「符号部」…正か負かを表す部分で、ふつう1ビット。0なら正、1なら負を表す。
・「基数」…何進法かを表す数（2進数なら2）。1つ1つの数ごとには記録しない。

問103-4・標準

浮動小数点数の形式で、仮数部のビット数は変えずに、指数部のビット数だけを増やした。主に変わることとして最も適切なものはどれか。

①表せる数の有効桁数が増える
②負の数も表せるようになる
③0.1を誤差なく表せるようになる
④表せる数の大きさの範囲が広がる

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正解 ④表せる数の大きさの範囲が広がる

解説
正解は「表せる数の大きさの範囲が広がる」。指数部は、数の大きさの桁（小数点の位置）を受け持つからです。

なぜ
指数部のビットが増えると、より大きな数や、より0に近い小さな数まで表せます。しかし、数字の並びを持つ仮数部は同じなので、細かさ（精度）は変わりません。

ひっかけ注意

・「表せる数の有効桁数が増える」…有効桁数（精度）を決めるのは仮数部。仮数部のビット数が同じなら、有効桁数は変わらない。
・「負の数も表せるようになる」…正負は符号部（1ビット）が表す。指数部を増やす前から負の数も表せる。
・「0.1を誤差なく表せるようになる」…0.1は2進数で繰り返しが終わらないので、指数部を増やしても正確には表せない。

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※本ページの問題・解説は、生成AI（人工知能）を活用して作成しています。